主な意味
夜遅くまで起きて〜する
ニュアンス: 普段寝るべき時間を過ぎても、意図的に起きて何かの作業（勉強や仕事、ゲームなど）を「続けている」状態を表します。
例文（夜遅くまで起きて〜する）
I had to stay up late studying for the final exam.
期末試験の勉強をするために、夜遅くまで起きていなければならなかった。
He often stays up late playing video games with his friends.
彼はよく、友達とテレビゲームをして夜遅くまで起きている。
語源
stay up（寝ずに起きている） + late（遅くまで） + doing（〜しながら）
類義語 (Synonyms)
burn the midnight oil(夜遅くまで勉強（仕事）する)
work late into the night(夜遅くまで働く)
sit up late doing(夜遅くまで起きて〜する)
対義語 (Antonyms)
go to bed early(早く寝る)
turn in early(早く就寝する)
hit the sack early(早く寝る（スラング）)